اعداد اول دوقلو و سه قلو ریاضی هشتم
اعداد اول دو قلو
در ریاضیات بعضی مسائل هستند که در سال‌های دور مطرح شدند اما با اینکه ظاهر ساده‌ای دارند، هنوز پاسخی برایشان پیدا نشده است! این سوالات را مسئله باز می‌نامند. یک نمونه از این مسئله‌های باز را در این مقاله از کالج آنلاین میتوانید مطالعه کنید. در مقاله پیش رو از کالج آنلاین می‌خواهیم در مورد مسئله باز دیگری به نام اعداد اول دوقلو صحبت کنیم.
ابتدا یک معرفی از اعداد اول داشته باشیم.
مقسوم علیه یا شمارنده
مجموعه‌ی مقسوم‌علیه‌ها یا شمارنده‌های طبیعی یک عدد، تمامی اعدادی هستند که عدد مورد نظر بر آن‌ها بخش پذیر است. به عنوان مثال:
مجموعه شمارنده‌های عدد 12 برابر است با:
{1,2,3,4,6,12}
مجموعه شمارنده‌های عدد ۲۵ برابر است با:
{1,5,25}
هر عدد بزرگتر از 1 حداقل دو شمارنده دارد. یکی خودش و دیگری عدد 1.
عدد اول
عددی که تنها دو شمارنده یا مقسوم علیه داشته باشد را عدد اول می‌نامیم.
2 اولین عدد اول است. {1,2} مجموعه مقسوم علیه‌های عدد 2 است.
اعداد اول به صورت زیر فهرست می‌شوند:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 …
اولین نکته‌ای که به ذهن می‌رسد این است که تمامی اعداد اول فردند به جز 2! چون 2 یکی از مقسوم علیه‌های سایر اعداد زوج است، پس اعداد زوج بزرگتر از 2، بیش از دو مقسوم علیه دارند و دیگر در دسته اعداد اول قرار نمی‌گیرند. بنابراین
تنها عدد اول زوج عدد 2 است
و سایر اعداد اول فردند. البته این جمله به این معنی نیست که تمامی اعداد فرد اولند!!! دقت کنید: اعداد فرد بزرگتر از 2 همگی فردند اما اعداد فردی هم وجود دارند که اول نیستند! مانند 9 یا 25 یا 39 و ….
اعداد اول دوقلو
یکبار دیگر فهرست اعداد اول را مشاهده کنید:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 …
بعضی از اعداد اول دقیقاً دو واحد با هم اختلاف دارند، یعنی دو عدد فرد متوالی هستند. مانند (3,5)، (5,7)، (11,13)، (17,19) و … این جفت از اعداد را اعداد اول دوقلو می‌نامند.
ریاضیدانان ثابت کرده‌اند که تعداد اعداد اول نامتناهی است. یعنی مجموعه اعداد بزرگترین عضو ندارد. سوالی که سالهاست ذهن ریاضیدانان را به خود مشغول کرده و هنوز جواب روشنی برای آن نیافته‌اند این است که:
آیا تعداد اعداد اول دوقلو نامتناهی است؟
دانشمندان در طی قرن‌ها تحقیق و مطالعه دریافته‌اند که با بزرگ شدن اعداد اول (در اندازه میلیون رقم) فاصله بین آن‌ها به آرامی رشد می‌کند واین می‌تواند گواهی بر این ادعا باشد که اعداد اول دو قلو ( یعنی اعداد اولی با حداقل فاصله) نامتناهی خواهند بود اما هنوز اثبات دقیقی برای این مسئله نیست و همچنان این سوال در دسته مسئله‌های باز قرار می‌گیرد.
اعداد اول سه قلو
جالب است بدانید اعداد اول سه قلو هم تعریف شده است!
اعداد اول سه‌قلو به سه عدد فرد متوالی گفته میشود که هر سه‌ی آن‌ها اول باشند. برخلاف اعداد اول دوقلو، اعداد اول سه قلو هیچ دردسری برای ریاضیدانان نداشته و تنها اعداد اول سه قلو (3,5,7) هستند. اثبات اینکه تنها سه قلوی اول همین سه عدد هستند به سادگی امکان پذیر است.
فرض کنید سه عدد فرد متوالی a, a+2 ,a+4 اول باشند. عدد a اول است؛ پس بر عددی مانند 3 بخش‌پذیر نیست. بنابراین باقی مانده تقسیم آن بر عدد 3، 1 یا 2 است.
فرض کنیم باقی مانده تقسیم عدد a بر 3 برابر 1 باشد. بنابراین:
a=3n+1
a+2=3n+2+1=3n+3=3(n+1)
رابطه دوم نشان می‌دهد عدد a+2 بر 3 بخش پذیر است و از این رو نمی‌تواند اول باشد.
حال فرض کنیم باقی مانده تقسیم عدد a بر 3 برابر 2 باشد. بنابراین:
a=3n+2
a+2=3n+2+2=3n+4=3(n+1)+1
a+4=3n+2+4=3n+6=3(n+2)
رابطه آخر نشان می‌دهد عدد سوم بر 3 بخش پذیر است؛ پس اول نیست.
بنابراین به جز (3,5,7) سه قلوی اول دیگری وجود ندارد.
